home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Gold Medal Software 3 / Gold Medal Software - Volume 3 (Gold Medal) (1994).iso / stats / xymath25.arj / XYMATH.DOC < prev    next >
Text File  |  1993-07-30  |  40KB  |  885 lines

  1.           
  2.           
  3.           
  4.           
  5.           
  6.           
  7.                           XYmath
  8.           
  9.                           by Charles Taylor
  10.           
  11.                           PO Box 277875
  12.           
  13.                           Sacramento, CA  95827-7875
  14.           
  15.           
  16.           
  17.                   (C)  Copyright 1989, 1991 by C. Taylor
  18.           
  19.                           All Rights Reserved
  20.           
  21.           
  22.           
  23.           
  24.                                    _______
  25.                               ____|__     |                (R)
  26.                            --|       |    |-------------------
  27.                              |   ____|__  |  Association of
  28.                              |  |       |_|  Shareware
  29.                              |__|   o   |    Professionals
  30.                            -----|   |   |---------------------
  31.                                 |___|___|    MEMBER
  32.  
  33.  
  34.  
  35.  
  36.  
  37.  
  38.  
  39.  
  40.  
  41.  
  42.  
  43.  
  44.  
  45.  
  46.  
  47.  
  48.  
  49.  
  50.  
  51.  
  52.  
  53.  
  54.  
  55.  
  56.  
  57.  
  58.  
  59.                                     page (1)     
  60.           
  61.           
  62.           
  63.           
  64.           
  65.                                   TABLE OF CONTENTS
  66.           
  67.           Introduction...............................................3
  68.           
  69.           The Shareware Concept......................................4
  70.           
  71.           Getting Started (Backup and Installation)..................5
  72.           
  73.           Applications
  74.                Plot an Equation......................................7
  75.                Integrate an Equation.................................7
  76.                Find the Maximum Value of an Equation.................8
  77.                Solve the Roots of an Equation........................8
  78.                Estimate Values Between Data Points...................9
  79.                Search Common Equation Forms for Best Fit.............9
  80.                Estimate Values Outside Data Points...................9
  81.                Perform an Exhaustive Search for Best Equation Fit...10
  82.                Change an Equation y=f(x) into x=f(y)................10
  83.           
  84.           Glossary of Terms
  85.                Curve Fit............................................11
  86.                Linear Equation......................................11
  87.                Non-Linear Equation..................................11
  88.                Linear Combination of Standard Forms.................12
  89.                Exhaustive Search....................................12
  90.                Transform of X and Y / Transpose of Data.............13
  91.                Least Squares Method (Gauss' Principle)..............13
  92.                Standard Deviation...................................13
  93.                Correlation Coefficient..............................14
  94.                Spline Curve (Natural Spline)........................14
  95.                Tensioned Spline Curve (Tension Factor)..............14
  96.                Integration..........................................15
  97.                Derivative (Slope, dy/dx)............................15
  98.                Root Solving.........................................15
  99.                Minima/Maxima........................................15
  100.                Interpolate / Extrapolate............................15
  101.  
  102.  
  103.  
  104.           
  105.                           DISCLAIMER - AGREEMENT
  106.           
  107.           Users of XYmath must accept this disclaimer of warranty:
  108.           "XYmath is supplied as is.  The author disclaims all
  109.           warranties, expressed or implied, including, without
  110.           limitation, the warranties of merchantability and of fitness
  111.           for any purpose. The author assumes no liability for damages,
  112.           direct or conse-quential, which may result from the use of
  113.           XYmath."
  114.  
  115.  
  116.  
  117.  
  118.                                     page (2)     
  119.                               
  120.                                   Introduction:
  121.           
  122.                    XYmath - A SOLUTION TO MOST COMMON X,Y MATH PROBLEMS
  123.                             WHICH USE AN EQUATION OF THE FORM: Y = f(X)
  124.           
  125.           
  126.           MAIN FEATURES:
  127.           
  128.             Equations:
  129.                 *Fits data to virtually any y=f(x) equation 
  130.                  (linear or non-linear)
  131.                 *Selects best equation for data fit from thousands of
  132.                  candidate equation forms
  133.                 *Uses least squares methods to fit curves with minimum
  134.                  total error or minimum percent error at each data point
  135.                 *Key data points may be weighted to give them more or
  136.                  less impact on the curve fit
  137.                 *Provides correlation coefficients and standard
  138.                  deviation for curve fits
  139.                 *Performs a variety of spline fit options including 
  140.                  tensioned splines and natural cubic splines
  141.                 *Takes user defined equations as input
  142.           
  143.             Math Functions:
  144.                 *Integrates any of the above equations over a definite
  145.                  interval (selected curve fit equation, spline curve, or
  146.                  user defined equation)
  147.                 *Solves roots of the above equations over a
  148.                  defined interval
  149.                 *Calculates first derivatives of the above equations at
  150.                  a point or many points over a defined interval
  151.                 *Locates minimum and maximum equation values for any of
  152.                  the above equations over a defined interval
  153.                 *Interpolates between data points based on any of the
  154.                  above equations
  155.                 *Extrapolates data based on any of the above equations
  156.           
  157.             Data:
  158.                 *Creates data tables from any of the above equations
  159.                  (y or dy/dx)
  160.                 *Allows data transpositions prior to curve fitting
  161.                  (eg. x=(x-1) )
  162.                 *Supports data Import option to and from Lotus 123
  163.                 *Supplies a Spreadsheet-like environment in which to
  164.                  edit data
  165.           
  166.             Environment:
  167.                 *Fully menu driven, user-friendly environment
  168.                 *Plots data and/or any of the above equations in linear,
  169.                  logarithmic, or semi-logarithmic format with many
  170.                  options to customize the display
  171.                 *Supports all common graphic hardware devices
  172.                  (Hercules,CGA,EGA,...)
  173.                 *Makes use of floating point co-processor (if available)
  174.                 *15 significant digits carried for internal calculations
  175.  
  176.                                     page (3)     
  177.           
  178.           
  179.           THE SHAREWARE CONCEPT:
  180.           
  181.           Sharware is a DISTRIBUTION concept whereby interested users
  182.           may evaluate software at no cost.  Users are able to evaluate
  183.           the software on their own system(s), in their own special work
  184.           environment, with no sales people involved. The evaluation
  185.           period will vary from software to software, however, continued
  186.           use of that code should be accompanied by payment to the
  187.           author or software development firm.
  188.           
  189.           
  190.           
  191.           Copyright laws apply to shareware just as they do to
  192.           commercial software. The primary difference between shareware
  193.           and retail software is that with shareware you know if it's
  194.           good or bad BEFORE you pay for it.
  195.           
  196.           As a software user, you benefit because you get to use the
  197.           software to determine whether it meets your needs before you
  198.           pay for it, and authors benefit because they are able to get
  199.           their products into your hands without the hundreds of
  200.           thousands of dollars in expenses it takes to launch a
  201.           traditional retail software product.  There are many programs
  202.           on the market today which would never have become available
  203.           without the shareware marketing method.
  204.           
  205.           The shareware system and the continued availability of quality
  206.           shareware products depend on your willingness to register and
  207.           pay for the shareware you use.  It's the registration fees you
  208.           pay which allow us to support and continue to develop our
  209.           products.
  210.           
  211.           Please show your support for shareware by registering those
  212.           programs you actually use and by passing them on to others.
  213.                               
  214.           
  215.           XYmath has an authorized evaluation period of one month.
  216.           After one month of evaluation, if the code is worthy of
  217.           continued use, a registered copy of XYmath should be purchased
  218.           for $50.  A check or money order should be sent to
  219.           
  220.                           C. Taylor
  221.                           XYmath registration
  222.                           PO Box 277875
  223.                           Sacramento, Ca. 95827-7875
  224.           
  225.           California residents should add 6.5% sales tax (total = $53.25)
  226.           
  227.           XYmath should be freely given to any and all interested
  228.           parties for evaluation.  Evaluation copies of the most recent
  229.           version of XYmath may be obtained at the above address for
  230.           $15.  If ordered from any "Shareware Distributor", no more
  231.           than $15 should be charged for that evaluation copy.
  232.           Commercial users may purchase a site license and receive a
  233.           volume purchase discount.
  234.  
  235.                                     page (4)     
  236.           
  237.           
  238.           When ordering XYmath, please print and use the ordering form
  239.           found in file "INVOICE.DOC" on the shareware disk.  The
  240.           information on that form will be used to create a
  241.           "registration file" which will be sent to registered users
  242.           along with the most recent version of XYmath.
  243.           
  244.           Registered users are also encouraged to give copies of XYmath
  245.           to any other interested parties, however, the registration
  246.           file on their disk should NOT be given as part of the software
  247.           package.  The Registration file can be deleted by the command
  248.           
  249.                           DEL *.REG
  250.           
  251.           Any difficulties which might be encountered with XYmath or any
  252.           suggestions for improving XYmath should be directed to the
  253.           above mailing address.  Although XYmath membership in the ASP
  254.           guarantees registered users three months of support, all users
  255.           are encouraged to submit their questions or comments at any
  256.           time and every reasonable effort will be made to respond.
  257.           
  258.           
  259.           XYmath is produced by a member of the Association of Shareware
  260.           Professionals (ASP).  ASP wants to make sure that the
  261.           shareware principle works for you.  If you are unable to
  262.           resolve a shareware-related problem by contacting XYmath
  263.           directly, ASP may be able to help.  The ASP Ombudsman can help
  264.           you resolve a dispute or problem with an ASP member, but does
  265.           not provide technical support for members' products.
  266.           
  267.           Please write to the ASP Ombudsman at:
  268.           
  269.                        ASP Ombudsman
  270.                        545 Grover Road
  271.                        Muskegon, MI  49442-9427
  272.                        U.S.A.
  273.           
  274.           or send a CompuServe message via CompuServe MAIL to ASP
  275.           Ombudsman 70007,3536.
  276.           
  277.           GETTING STARTED:
  278.           
  279.           The first thing to do with the XYmath disk is to make a backup
  280.           copy.  Place the original XYmath disk in drive a: and give the
  281.           DOS command
  282.           
  283.                   DISKCOPY A: A:
  284.           
  285.           Have a blank disk ready.  When prompted to insert the target
  286.           disk, remove the original XYmath disk and put the target disk
  287.           in drive a:.  It will be formatted if necessary by the
  288.           DISKCOPY command.  Place the original XYmath disk in a safe
  289.           place and use the backup disk for running the code.
  290.           
  291.           
  292.  
  293.  
  294.                                     page (5)     
  295.           
  296.           
  297.           If a hard drive is available, it is best to copy all files
  298.           from the floppy disk to the hard drive.  If your hard drive is
  299.           drive C:, then the following DOS commands will create a
  300.           subdirectory called XYmath and copy all necessary files into it.
  301.           
  302.           
  303.           
  304.                           CD C:\
  305.                           MD XYMATH
  306.                           CD C:\XYMATH
  307.                           COPY A:*.*
  308.           
  309.                 XYmath can then be executed by simply typing
  310.           
  311.                           XYMATH
  312.           
  313.           preferably from the directory or sub-directory in which it is
  314.           installed.  In the above installation example the sub-
  315.           directory XYMATH is the best execution environment.  If
  316.           running from floppy disk, put the DOS prompt to that floppy
  317.           before executing XYMATH.  Because the graphic device driver
  318.           files are assumed to be in the directory from which XYmath is
  319.           run, no graphic displays will be possible if the above advice
  320.           is not followed.
  321.  
  322.  
  323.  
  324.  
  325.  
  326.  
  327.  
  328.  
  329.  
  330.  
  331.  
  332.  
  333.  
  334.  
  335.  
  336.  
  337.  
  338.  
  339.  
  340.  
  341.  
  342.  
  343.  
  344.  
  345.  
  346.  
  347.  
  348.  
  349.  
  350.  
  351.  
  352.  
  353.                                     page (6)     
  354.           
  355.           
  356.                   APPLICATIONS:
  357.           
  358.           Some typical applications for XYmath follow
  359.           
  360.           A) Plot an Equation
  361.           B) Integrate an Equation
  362.           C) Find the Maximum Value of an Equation
  363.           D) Solve the Roots of an Equation
  364.           E) Estimate Values Between Data Points
  365.           F) Search Common Equation Forms for Best Fit
  366.           G) Estimate Values Outside Data Points
  367.           H) Perform an Exhaustive Search for Best Equation Fit
  368.           I) Change an Equation y=f(x) into x=f(y)
  369.           
  370.           In the following Applications, Numbered items indicate Menu
  371.           Choices.
  372.           
  373.           
  374.           A) Plot an Equation
  375.                   From the top menu choose
  376.                           1)Equations
  377.                           2)Input Equation
  378.                             -and enter:   Y = 50 + 2*x^2 -0.25*x^3
  379.                             -hit <esc> to exit
  380.                           3)Graphics
  381.                           4)Display Plot
  382.                             -the plot is displayed
  383.                             -hit any key to return to top menu
  384.                             -the graph may be customized under the
  385.                              Graphics menu for example:
  386.                           5)Graphics
  387.                           6)Axes
  388.                           7)X Axis Plot Range
  389.                           8)Low X Value
  390.                             -input: -2.0
  391.                           9)Display Graph
  392.                             -hit any key to return to top menu
  393.           
  394.           B) Integrate an Equation
  395.                   Use the equation and setup from Application A
  396.                   Starting at top menu:
  397.                           1)Math Operation
  398.                           2)Integrate
  399.                           3)Low X limit
  400.                             -input:  0.0
  401.                           4)Upper X limit
  402.                             -input:  10.0
  403.                           5)Integrate Function
  404.                             -the integral = 541.667
  405.                             -the analytical solution =
  406.                                    50x + (2/3)x^3 - (.25/4)x^4
  407.                              which agrees with the above numerical result
  408.                             -hit Return to see the Graph
  409.                             -hit any key to return to top menu
  410.  
  411.  
  412.                                     page (7)     
  413.           
  414.           
  415.           C) Find the Maximum Value of an Equation
  416.                   Use the equation and setup from Application A
  417.                   Starting at top menu:
  418.                           1)Math Operation
  419.                           2)Minimum/Maximum
  420.                           3)Lower X Range
  421.                             -enter:  0.0
  422.                           4)Upper X Range
  423.                             -enter:  10.0
  424.                           5)Calculate Min/Max
  425.                             -minimum is at upper X value (ie. a trivial
  426.                              result)
  427.                             -maximum is at X = 5.333
  428.                             -the analytical maximum = 16/3 = 5.333
  429.           
  430.           
  431.           D) Solve the Roots of an Equation
  432.                   Use the equation and setup from Application A
  433.                   Starting at top menu:
  434.                           1)Math Operation
  435.                           2)Root Solve
  436.                           3)Lower X Range
  437.                             -enter:  0.0
  438.                           4)Upper X Range
  439.                             -enter:  10.0
  440.                           5)Y input
  441.                             -enter:  60.0
  442.                             -2 roots found for Y=60 between x=0 and x=10
  443.                              x=2.7639  and x=7.2361
  444.                             -after first root is displayed, hit return
  445.                              to see second
  446.                             -hit <esc> to return to top menu
  447.           
  448.           
  449.  
  450.  
  451.  
  452.  
  453.  
  454.  
  455.  
  456.  
  457.  
  458.  
  459.  
  460.  
  461.  
  462.  
  463.  
  464.  
  465.  
  466.  
  467.  
  468.  
  469.  
  470.  
  471.                                     page (8)     
  472.           E) Estimate Values Between Data Points
  473.                   Before entering a data set, we will clear memory of
  474.                   previous tasks
  475.                           1)Files
  476.                           2)Options
  477.                           3)Reinitialize All Memory
  478.                             -answer Yes to warning message
  479.                           4)Data
  480.                           5)Data SpreadSheet
  481.                             -enter the following data set (each number
  482.                              may be followed by a carriage return or an
  483.                              arrow key to both move and enter data)
  484.                                   X       Y
  485.                                   1       1
  486.                                   2       2.5
  487.                                   3       3.5
  488.                                   4       3.75
  489.                                   5       3.5
  490.                                   6       3.0
  491.                             -hit <esc> to return to top menu
  492.                           6)Math Operation
  493.                           7)Curvefit
  494.                           8)Spline Curve
  495.                           9)Cubic Spline (natural)
  496.                             -graph is displayed
  497.                             -hit any key to return to top menu
  498.                           10)Math Operation
  499.                           11)Evaluate
  500.                           12)X input
  501.                              -enter:  1.5
  502.                               program shows y=1.7573 at x=1.5
  503.                              -hit <esc> to return to top menu
  504.           
  505.           
  506.           F) Search Common Equation Forms for Best Fit
  507.                   Use the data set from Application E
  508.                   From the top menu
  509.                           1)Math Operation
  510.                           2)Curvefit
  511.                           3)Fit Curves to Common Equation Forms
  512.                           4)Fit Curves Using Total Error Minimization
  513.                             -results in:  ln(y) = c1 + c2x + c3ln(x)
  514.                             -hit any key to see graph
  515.                             -hit any key to return to top menu
  516.           
  517.           
  518.           G) Estimate Values Outside Data Points
  519.                   Use the data set from Application E
  520.                   Perform Application F (search of common equation forms)
  521.                   From the top menu
  522.                           1)Math Operation
  523.                           2)Evaluate
  524.                           3)X input
  525.                             -enter:  11.0
  526.                             -results in:  y=0.73781   at  x=11.0
  527.                   Use the methods of Application A to plot from x=1 to
  528.                   x=12 Notice that the curve looks "REASONABLE" in
  529.                   extrapolation
  530.                                     page (9)     
  531.           
  532.                   Perform Application E (fit points to spline curve)
  533.                   Notice that the result looks "UNREASONABLE" in
  534.                   extrapolation
  535.           
  536.           
  537.           
  538.           
  539.           H) Perform an Exhaustive Search for Best Equation Fit
  540.                   Use the data set from Application E
  541.                   From the top menu
  542.                           1)Math Operation
  543.                           2)Curvefit
  544.                           3)Exhaustive Search
  545.                           4)Begin Curve Fit
  546.                             -results in:
  547.                               1/y = c1 + c2 x^2 + c3 exp(1/x)
  548.                   This operation may take a few minutes to search all
  549.                   the equations Systems with a math co-processor will
  550.                   show much better performance
  551.           
  552.           
  553.           I) Change an Equation y=f(x) into x=f(y)
  554.                   Before beginning, clear memory as in Application E
  555.                   Given the equation y = x^2 + sin(x)/exp(x) + cos(x)^2/3 ,
  556.                     our task is to find an equation for x = f(y)
  557.                           1)Enter the above equation as shown in
  558.                             Application A
  559.                   From the top menu
  560.                     first fill the data table from the equation
  561.                           2)Data
  562.                           3)Fill Data From Equation
  563.                           4)Y vs. X
  564.                           5)Lower X Value
  565.                             -enter:  0.0
  566.                           6)Upper X Value
  567.                             -enter:  2.0
  568.                           7)Increment of X
  569.                             -enter:  0.1
  570.                           8)Fill Data Table
  571.                             -hit <esc> to return to top menu
  572.           
  573.                     next make the y data the independent variable
  574.                           9)Data
  575.                           10)Select Independent
  576.                           11)y data
  577.           
  578.                     now fit the data with y as the independent variable
  579.                           12)Math Operation
  580.                           13)Curvefit
  581.                           14)Fit to Common Equation Forms
  582.                           15)Fit Curves Using Total Error
  583.                              -results in:  x = c1 + c2 (1/y)^2 + c3 ln(y)
  584.                               as the best curve fit
  585.                              -an exhaustive search would reveal an even
  586.                               better fit
  587.           
  588.           
  589.                                     page (10)     
  590.           
  591.           
  592.                     
  593.           GLOSSARY OF TERMS:
  594.           
  595.           
  596.           
  597.                   Although most of XYmath conforms to standard
  598.           mathematical nomenclature, some clarification may be required.
  599.           The following definitions will address both terms unique to
  600.           XYmath, as well as terms common to mathematics in general.
  601.           
  602.           
  603.           CURVE FIT
  604.                   For the purposes of XYmath, curve fitting is the
  605.           process of finding the "best" equation which passes through or
  606.           near each point of a data set.  Because there are an infinite
  607.           number of curves which pass through a given set of data
  608.           points, the choice of "best" curve will often be a matter of
  609.           judgement (technical, artistic, or arbitrary).  It is not
  610.           uncommon to select a curve which rates lower on its
  611.           correlation coefficient simply because it is better behaved as
  612.           it goes to infinity or passes through zero.  Common technical
  613.           measures of "best" curve are least squares, standard
  614.           deviation, or correlation coefficient.
  615.           
  616.           LINEAR EQUATION
  617.                   XYmath considers a linear equation to be one which is
  618.           linear in its real constants. Examples include:
  619.                   y = c1 + c2 x
  620.                   y = c1 sin(x) + c2 ln(x) + c3 x^0.5
  621.                   1/ln(y) = c1 sin(1/x) + c2 cos(x^2)
  622.           because all of the constants in the above equations are in
  623.           separate terms of the equation and are not raised to any power
  624.           or operated upon by a function such as sin, exp, or ln.
  625.                   Linear equations can be fitted to data directly using
  626.           matrix solution methods with a least squares criterion.  These
  627.           equations are therefore the least time consuming and least
  628.           trouble to curve fit using XYmath.
  629.           
  630.           NON-LINEAR EQUATION
  631.                   Non-linear equations can not be fitted directly to
  632.           data using matrix methods but must use iterative approximation
  633.           methods.  Such equations have real constants which are
  634.           products of each other, are exponents, or are operated upon by
  635.           functions such as sin, exp, or ln.  Common equations which are
  636.           non-linear in their real constants include power curves,
  637.           exponential equations, and S-curves.
  638.                   y = c1 x^c2
  639.                   y = c1 exp(c2 x)
  640.                   y = 1 / (c1 + c2 exp(-x))
  641.           Notice, however, that all of the above equations can be
  642.           "linearized" by appropriately taking the logarithm or inverse
  643.           of both sides.  The power curve, for example can be expressed
  644.           as
  645.                   ln(y) = ln(c1) + c2 ln(x)
  646.           and in this form can be directly fitted to data with matrix
  647.           methods.
  648.                                     page (11)     
  649.                   There are some subtleties in this approach of which
  650.           the reader should be aware.  Fitting this "linearized" power
  651.           curve with a conventional least squares criterion will result
  652.           in a minimum percent error at each data point instead of the
  653.           expected minimum total error which is typical of the method.
  654.           There is nothing at all wrong with this difference and, in
  655.           fact, for data which spans several orders of magnitude, this
  656.           is often preferable.  Because it provides a philosophically
  657.           different approach to curve fitting, it should be noted and
  658.           considered at the start of each curve fitting task.
  659.                   Non-linear equations are easily fitted by XYmath but
  660.           do require an initial guess at any real constants in the
  661.           equation.  Often a linearized equation solution can give
  662.           guidance in making those initial guesses.
  663.           
  664.           LINEAR COMBINATION OF STANDARD FORMS
  665.                   XYmath provides matrix solution methods for all
  666.           equations which are linear combinations of standard forms.
  667.           These equations are linear by the above definition, and are
  668.           constructed as the sum of standard functions of x multiplied
  669.           by real constants (the determination of the constants is the
  670.           curve fitting task).   The standard forms of x are those which
  671.           appear under the "Exhaustive Search" menu option of curve
  672.           fitting in XYmath.  These standard forms consist of a basic
  673.           function of x, and a transform of x.  If the function of x was
  674.           1/x and the transform was x=ln(x) then the standard form would
  675.           be 1/ln(x).  If the function and transform were reversed, then
  676.           the standard form would be ln(1/x).
  677.                   Using this approach to defining equation forms,
  678.           thousands of linear equations can be investigated for any set
  679.           of data which needs to be fitted.
  680.                               
  681.           EXHAUSTIVE SEARCH
  682.                   An exhaustive search in XYmath is the process by which
  683.           literally thousands of equations can be fitted to a data set
  684.           and screened for "goodness" of fit.  Using the exhaustive
  685.           search definition(defined below), XYmath generates equation
  686.           forms and, using matrix solution methods, fits each one to the
  687.           data.  The sum of the errors squared, or the sum of the
  688.           percent error squared is used to select the "best" curve.  The
  689.           60 highest ranking equations are saved during the search and
  690.           any one of them may be selected as the "best" by the user
  691.           under the "Choose Equation" option of the "Equation" main menu
  692.           option.
  693.                    
  694.           EXHAUSTIVE SEARCH DEFINITION
  695.                   The exhaustive search definition(ESD) tells XYmath
  696.           which functions of x, x transforms, and y transforms may be
  697.           used in constructing linear equation candidates for a curve
  698.           fitting task.  The ESD also defines the minimum and maximum
  699.           number of terms which can occur in the equation as well as the
  700.           "best" fit selection criterion (total or percent error).  The
  701.           ESD may be read from a disk file or defined manually during an
  702.           exhaustive search.  Several ESDs are provided with XYmath to
  703.           select such common searches as straight lines, quadratic
  704.           equations, cubics, hyperbolas, etc.
  705.  
  706.  
  707.                                     page (12)     
  708.           
  709.           
  710.           
  711.           TRANSFORM OF X AND Y / TRANSPOSE OF DATA
  712.                   The term transform will be distinguished from the term
  713.           transpose within XYmath to identify two similar operations.
  714.           Transforms are the operations performed upon x or y for each
  715.           "individual term" of an equation of linear combination of
  716.           standard forms.  A different transform may be applied to each
  717.           term of that equation.  A transpose of data changes the data
  718.           set itself. Any and all curve fitting, graphing, etc. is done
  719.           with the transposed data and NOT the original data.
  720.                   It is often the case that curve fitting a given
  721.           equation directly yields poor results, whereas fitting a
  722.           "transformed" equation works very well.  For example fitting a
  723.           line (y = c1 + c2 x) to data may be unsatisfactory when the
  724.           equation (1/y = c1 + c2 x) may give extremely good results.
  725.           The difference between the two equations is the transformation
  726.           of y to 1/y.
  727.                   It is also common to transpose data from its raw form
  728.           into one more suitable or more convenient.  For example some
  729.           temperature data may exist in units of degrees Fahrenheit when
  730.           degrees Kelvin may be required.  Under such conditions the
  731.           data should be transposed as  (x = (x + 459.67) / 1.8).
  732.                   The available transforms are controlled by the user
  733.           when the exhaustive search definition is selected.  Data
  734.           transpose equations may be input by the user within the data
  735.           spreadsheet or under the "Data" option of the main menu.  Both
  736.           the raw data and the transposed data are displayed in the data
  737.           spreadsheet.
  738.           
  739.           
  740.           LEAST SQUARES METHOD (Gauss' Principle)
  741.                   In the least squares curve fitting method, the curve
  742.           fit's error at each data point is squared and the sum of those
  743.           squared errors is minimized to give the "best" fit.  In other
  744.           words, the method finds the unique constants in a linear
  745.           equation which minimizes the sum of the square of the
  746.           difference between the curve's prediction of y at each x data
  747.           value and the y data itself.
  748.                   There are statistical reasons for using the least
  749.           squares method.  If the y values follow a normal distribution
  750.           (bell-shaped curve), then the resulting curve can be shown to
  751.           be the most probable solution.  The "linear regression" is the
  752.           most common application of this method.
  753.           
  754.           
  755.           STANDARD DEVIATION
  756.                   The standard deviation represents the total variation
  757.           in the data which is not accounted for by the fitted equation.
  758.           Data, for example, which follows a basically linear trend may
  759.           have "noise" in it about the fitted line.  That variation
  760.           about the line is described by its standard deviation.
  761.           Approximately 95% of the equation's prediction errors will lie
  762.           within 2 standard deviations of the curve (assuming a normal
  763.           distribution for that error).
  764.  
  765.  
  766.                                     page (13)     
  767.                   Any noise about the equation prediction will usually
  768.           be rendered meaningless if the number of terms in the equation
  769.           is the same as the number of data points.  This is because an
  770.           equation can usually be forced through each data point when
  771.           the number of terms and data points are equal.  Any errors are
  772.           therefore hidden through the use of too many constants in the
  773.           equation (ie. the more complex equation does not show the
  774.           "true" character of the x,y relationship).
  775.           
  776.           CORRELATION COEFFICIENT
  777.                  The correlation coefficient represents the fraction of
  778.           the total variation in the data which is accounted for by the
  779.           fitted equation.  A value of 1.0 is the most desirable, 0.0 is
  780.           the least desirable.
  781.                   Correlation coefficients are intended to be guides as
  782.           to how applicable an equation form is to a data set.  It is
  783.           possible, however, that choosing an equation with a lower
  784.           correlation coefficient may be a better choice for a given
  785.           application due to other characteristics of the equations (eg.
  786.           behavior at infinity or unwanted inflection points).
  787.                   A perfect correlation coefficient can usually be
  788.           obtained if the number of terms in the equation is set equal
  789.           to the number of data points.  This can be a misleading result
  790.           and should therefore be viewed with caution.
  791.           
  792.           SPLINE CURVE (Natural Spline)
  793.                   A natural spline curve passes through each point of a
  794.           data set and has a "natural" smooth curvature.  The name
  795.           derives from a draftsman's tool, a spline, which is a flexible
  796.           strip that can be held by weights so that it passes through
  797.           each desired point on the draftsman's table.  A mathematical
  798.           procedure is used to mimic these laws of beam flexure which
  799.           the draftsman employs.
  800.                   A requirement of spline curves is that each data point
  801.           be "single valued".  If there is more than one y value at a
  802.           given x value, then XYmath will give the option of using the
  803.           minimum, maximum, or average value of the multiple y data
  804.           points for creating a spline.
  805.           
  806.           TENSIONED SPLINE CURVE (TENSION FACTOR)
  807.                   A natural spline curve can sometimes give a curve
  808.           shape which is unsatisfactory.  Typically the undesirable
  809.           features involve exaggerated transitions from one point to
  810.           another.  This problem can often be solved by placing the
  811.           curve under "tension".  The tension factor is used to express
  812.           the fraction of the spline which is like a straight line,
  813.           point-to-point curve verses a natural spline.  A tension
  814.           factor of zero, for example, is exactly equivalent to a
  815.           natural spline.  A factor of 1.0 is a straight line from point
  816.           to point.
  817.  
  818.  
  819.  
  820.  
  821.  
  822.  
  823.  
  824.  
  825.                                     page (14)     
  826.            
  827.           INTEGRATION
  828.                   Integration is the finding of the area underneath a
  829.           curve.  There are many numerical methods available to perform
  830.           this calculation.  The method used by XYmath is the Simpson
  831.           1/3 rule.  It involves breaking the total area up into many
  832.           small sections and summing the estimated areas of each section
  833.           in order to approximate the total area under the curve.
  834.                   The equation to be integrated can be 1) input
  835.           directly, or 2) the result of a curve fitting operation.
  836.           
  837.           DERIVATIVE (slope, dy/dx)
  838.                   The first derivative of a curve is equal to the slope
  839.           of that curve.  XYmath calculates the slope of the curve at a
  840.           given point or for many points over a range of x values.  It
  841.           is therefore possible to create graphs and/or data tables of y
  842.           vs. x, as well as dy/dx vs. x.
  843.                   The equation to be operated upon can be 1) input
  844.           directly, or 2) the result of a curve fitting operation.
  845.           
  846.           ROOT SOLVING
  847.                   Given an equation y=f(x), it is often required to know
  848.           the value of x for which y has some desired value.  This is
  849.           called root solving.  XYmath will search a given interval of x
  850.           for the value of y desired and will display all roots found.
  851.                   The equation may be 1) input directly, or 2) the
  852.           result of a curve fitting operation.
  853.           
  854.           MINIMA/MAXIMA
  855.                   Finding the x value for which y is a minimum or
  856.           maximum is a very common problem with an equation y=f(x).
  857.           XYmath will find both the maximum and minimum over a given
  858.           interval of x.  Some care should be used when performing this
  859.           task since "local optima" can sometimes be found instead of
  860.           the real optimum.  Examining a plot of the equation and doing
  861.           min/max searches in small sub-regions can sometimes yield more
  862.           accurate results when the equation is very complicated (many
  863.           inflection and zero derivative points).
  864.                   As with the above operations, the equation may be 1)
  865.           input directly, or 2) the result of a curve fitting operation.
  866.           
  867.           INTERPOLATE/EXTRAPOLATE
  868.                   Evaluating a fitted equation between data points or
  869.           outside of data points is probably the most common reason to
  870.           fit data.  Interpolating between points usually gives a higher
  871.           confidence answer than extrapolating outside of the data
  872.           points.  Interpolation is well performed by spline curves and,
  873.           in general, is the best approach to take.  Extrapolation can
  874.           be very dangerous with spline curves(splines often turn
  875.           pathological outside their applicable data range) and
  876.           therefore splines are not usually recommended for
  877.           extrapolation.
  878.                   For any evaluation of an equation, it is highly
  879.           recommended that a graph of the data and equation be viewed.
  880.           In general, when predicting values by fitted equation, THERE
  881.           IS NO SINGLE CORRECT ANSWER.  Always look at the graph to
  882.           insure that the predicted value is "reasonable".
  883.                     
  884.                                     page (15) 
  885.